第二类斯特林数 $S(n,m)$ 表示将 $n$ 个元素放入 $m$ 个无序集合的方案数。

递推形式

递推式: $S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1)$

证明:

考虑第 $n$ 个元素所在集合。

$1.$ 如果第 $n$ 个元素被放在一个之前就存在的集合。

$--$在放入第 $n$ 个元素之前，共有 $n-1$ 个元素，$m$ 个集合。方案数为 $m*S(n-1,m)$。

$2.$ 如果第 $n$ 个元素被放在一个之前不存在的集合。

$--$在放入第 $n$ 个元素之前，共有 $n-1$ 个元素，$m-1$ 个集合。第 $n$ 个元素构成一个单独的集合，方案数为 $S(n-1,m-1)$。

综上, $S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1)$ 。

这种考虑最后一个元素的情况并进行递推的思想，在某些题目当中同样适用，并不仅限于第二类斯特林数公式的推导。

容斥形式

咕咕咕。

容斥形式可以在 $O(好多)$ 的时间复杂度求出就那么多个第二类斯特林数。